北师大版初中数学知识点总结

北师大版初中数学知识点总结

求不等式的解集的过程,叫做解不等式。3、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。考点三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。2、一元一次不等式组的解

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。

第五章统计初步与概率初步

考点一、平均数1、平均数的概念

(1)平均数:一般地,如果有n个数x1,x2,,xn,那么,x读作“x拔”。

(2)加权平均数:如果n个数中,x出现f1次,x2出现f2次,,xk出现fk次(这里f1f2fkn),

x1f1x2f2xkfkn1n(x1x2xn)叫做这n个数的平均数,x那么,根据平均数的定义,这n个数的平均数可以表示为x,这样求得的平均数x叫做

加权平均数,其中f1,f2,,fk叫做权。2、平均数的计算方法

(1)定义法:当所给数据x1,x2,,xn,比较分散时,一般选用定义公式:x1n(x1x2xn)

(2)加权平均数法:当所给数据重复出现时,一般选用加权平均数公式:xx1f1x2f2xkfkn,其中

f1f2fkn。

(3)新数据法:当所给数据都在某一常数a的上下波动时,一般选用简化公式:xx'a。

其中,常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,x'1x1a,x'2x2a,,x'nxna。

x'1n(通常把x1,x2,,xn,叫做原数据,x'1,x'2,,x'n,叫做新数据)。(x'1x'2x'n)是新数据的平均数

考点二、统计学中的几个基本概念1、总体:所有考察对象的全体叫做总体。

2、个体:总体中每一个考察对象叫做个体。

3、样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量。

5、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

6、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。考点三、众数、中位数

1、众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

2、中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。考点四、方差1、方差的概念

在一组数据x1,x2,,xn,中,各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。通常用“s2”表示,即:s2、方差的计算(1)基本公式:s221n[(x1x)(x2x)(xnx)]

2221n[(x1x)(x2x)(xnx)]

2222(2)简化计算公式(Ⅰ):s1n1n[(x1x2xn)nx]也可写成s222221n[(x1x2xn)]x

2222此公式的记忆方法是:方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。(3)简化计算公式(Ⅱ):s2[(x'x'x')nx']

21222n2当一组数据中的数据较大时,可以依照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据x'1x1a,x'2x2a,,x'nxna,那么,s此公式的记忆方法是:方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。(4)新数据法:

原数据x1,x2,,xn,的方差与新数据x'1x1a,x'2x2a,,x'nxna的方差相等,也就是说,根据方差的基本公式,求得x'1,x'2,,x'n,的方差就等于原数据的方差。3、标准差

方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,用“s”表示,即ss221n[(x'1x'2x'n)]x'

22221n[(x1x)(x2x)(xnx)]

222考点五、频率分布1、频率分布的意义

在许多问题中,只知道平均数和方差还不够,还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布。2、研究频率分布的一般步骤及有关概念(1)研究样本的频率分布的一般步骤是:

①计算极差(最大值与最小值的差);②决定组距与组数;③决定分点;④列频率分布表;⑤画频率分布直方图(2)频率分布的有关概念①极差:最大值与最小值的差

②频数:落在各个小组内的数据的个数

(2)当k0时,y随x的增大而增大(2)当k0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y随x的增大而减小。k>0yOx①x的取值范围是x0,y的取值范围是y0;②当k

第八章图形的初步认识

考点一、直线、射线和线段

1、几何图形:从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。2、点、线、面、体(1)几何图形的组成

点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。面:包围着体的是面,分为平面和曲面。体:几何体也简称体。

(2)点动成线,线动成面,面动成体。

3、直线的概念:一根拉得很紧的线,就给我们以直线的形象,直线是直的,并且是向两方无限延伸的。4、射线的概念:直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。

5、线段的概念:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。6、点、直线、射线和线段的表示在几何里,我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。注意:

(1)表示点、直线、射线、线段时,都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。(2)直线和射线无长度,线段有长度。

(3)直线无端点,射线有一个端点,线段有两个端点。(4)点和直线的位置关系有线面两种:

①点在直线上,或者说直线经过这个点。②点在直线外,或者说直线不经过这个点。7、直线的性质

(1)直线公理:经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。它可以简单地说成:过两点有且只有一条直线。(2)过一点的直线有无数条。

(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。(4)直线上有无穷多个点。

(5)两条不同的直线至多有一个公共点。

8、线段的性质

(1)线段公理:所有连接两点的线中,线段最短。也可简单说成:两点之间线段最短。(2)连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。(3)线段的中点到两端点的距离相等。

(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。考点二、角1、角的相关概念

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。当角的两边在一条直线上时,组成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角;小于直角的角叫做锐角;大于直角且小于平角的角叫做钝角。

如果两个角的和是一个直角,那么这两个角叫做互为余角,其中一个角叫做另一个角的余角。如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫做互为补角,其中一个角叫做另一个角的补角。2、角的表示

角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示,具体的有一下四种表示方法:①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。

注意:用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。

3、角的度量

角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。把1’的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。1°=60’=60”4、角的性质

(1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。;(2)角的大小可以度量,可以比较;(3)角可以参与运算。

5、角的平分线及其性质:一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线有下面的性质定理:(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。考点三、相交线1、相交线中的角

两条直线相交,可以得到四个角,我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。

临补角互补,对顶角相等。

直线AB,CD与EF相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截),构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB,CD的上方,并且在EF的同侧,像这样位置相同的一对角叫做同位角;∠3与∠5这两个角都在AB,CD之间,并且在EF的异侧,像这样位置的两个角叫做内错角;∠3与∠6在直线AB,CD之间,并侧在EF的同侧,像这样位置的两个角叫做同旁内角。

2、垂线

两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。

直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。垂线的性质:

性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。考点四、平行线

1、平行线的概念

在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。注意:

(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。

(2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。2、平行线公理及其推论

平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

3、平行线的判定:平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。简称:同位角相等,两直线平行。平行线的两条判定定理:

(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。简称:内错角相等,两直线平行。(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。简称:同旁内角互补,两直线平行。

补充平行线的判定方法:

(1)平行于同一条直线的两直线平行。(2)垂直于同一条直线的两直线平行。(3)平行线的定义。4、平行线的性质

(1)两直线平行,同位角相等。(2)两直线平行,内错角相等。(3)两直线平行,同旁内角互补。考点五、命题、定理、证明

1、命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。

理解:命题的定义包括两层含义:(1)命题必须是个完整的句子;(2)这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类(按正确、错误与否分)真命题(正确的命题)命题

假命题(错误的命题)

所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。

4、定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。5、证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。6、证明的一般步骤

(1)根据题意,画出图形。(2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。考点六、投影与视图

1、投影

投影的定义:用光线照射物体,在地面上或墙壁上得到的影子,叫做物体的投影。平行投影:由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。中心投影:由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。2、视图

当我们从某一角度观察一个实物时,所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图:在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图。

俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图。

左视图:在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图,有时也叫做侧视图。

第九章三角形

考点一、三角形

1三角形的概念:由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。2、三角形中的主要线段

(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。(2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。3、三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广,需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性:

(1)三角形有三条线段

(2)三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形

(3)首尾顺次相接

三角形用符号“”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”,读作“三角形ABC”。

第十章四边形

考点一、四边形的相关概念

1、四边形:在同一平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。

2、凸四边形:把四边形的任一边向两方延长,如果其他个边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形。

3、对角线:在四边形中,连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

4、四边形的不稳定性:三角形的三边如果确定后,它的形状、大小就确定了,这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后,它的形状不能确定,这就是四边形所具有的不稳定性,它在生产、生活方面有着广泛的应用。5、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理:四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理:四边形的外角和等于360°。多边形的内角和定理:n边形的内角和(n2)180°;多边形的外角和定理:任意多边形的外角和360°6、多边形的对角线条数的计算公式:设多边形的边数为n,则多边形的对角线条数为考点二、平行四边形

1、平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示,如平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。2、平行四边形的性质

(1)平行四边形的邻角互补,对角相等。

(2)平行四边形的对边平行且相等。推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。3、平行四边形的判定

(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形

(2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形;定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形;定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离:两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。5、平行四边形的面积:S考点三、矩形

平行四边形

n(n3)2。

=底边长×高=ah

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质

(1)具平行四边形的一切性质;(2)矩形的四个角都是直角;(3)矩形的对角线相等;(4)矩形是轴对称图形3、矩形的判定

(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形

(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形;定理2:对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab考点四、菱形1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质;(2)菱形的四条边相等;(3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;(4)菱形是轴对称图形3、菱形的判定

(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形

(2)定理1:四边都相等的四边形是菱形;定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积:S

菱形

=底边长×高=两条对角线乘积的一半

考点五、正方形

1、正方形的概念:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质

(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质(2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等

(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角(4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴

(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定

(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:

①先证它是矩形,再证有一组邻边相等。②先证它是菱形,再证有一个角是直角。(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下:

先证明它是平行四边形;再证明它是菱形(或矩形);最后证明它是矩形(或菱形)4、正方形的面积:设正方形边长为a,对角线长为b,S考点六、梯形1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地,梯形的分类如下:一般梯形

梯形直角梯形特殊梯形

等腰梯形2、梯形的判定

(1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

3、等腰梯形的性质

(1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。(3)等腰梯形的对角线相等。(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线。4、等腰梯形的判定

(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形

(2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。5、梯形的面积(1)如图,S梯形ABCD12(CDAB)DE

正方形

=a2b22

(2)梯形中有关图形的面积:

①SABDSBAC;②SAODSBOC;③SADCSBCD6、梯形中位线定理

梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。

三角函数sinα0°030°1245°222260°321290°1cosα132330tanα013不存在cotα不存在313304、各锐角三角函数之间的关系(1)互余关系:sinA=cos(90°A),cosA=sin(90°A);tanA=cot(90°A),cotA=tan(90°A)(2)平方关系:sin2Acos2A1

(3)倒数关系:tanAtan(90°A)=1(4)弦切关系:tanA=

sinAcosA

5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时,

(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);(2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);(3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);(4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

考点四、解直角三角形(3~5)1、解直角三角形的概念

在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c(1)三边之间的关系:abc(勾股定理)(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°

sinA(3)边角之间的关系:

ac,cosAbc,tanAab,cotAba;sinBbc,cosBac,tanBba,cotBab222

第十二章圆

考点一、圆的相关概念

1、圆的定义

在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。2、圆的几何表示:以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义

(1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)

(2)直径:经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD)直径等于半径的2倍。(3)半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。(4)弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“

”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)考点三、垂径定理及其推论

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为:过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性(3分)

1、圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。考点六、圆周角定理及其推论

1、圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

考点七、点和圆的位置关系

设⊙O半径r,点P到圆心距离为d,则:dr点P在⊙O外。考点八、过三点的圆

1、过三点的圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件):圆内接四边形对角互补。考点九、反证法

先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法。

考点十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系,具体如下:

(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。

若⊙O半径r,圆心O到直线l距离d:直线l与⊙O相交dr。考点十一、切线的判定和性质

1、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。

在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,称比例线段

abcd,简

若四条a,b,c,d满足或a:b=c:d,那么a,b,c,d叫做组成比例的项,线段a,d叫做比例外项,线段b,c叫做比例内项,线段的d叫做a,b,c的第四比例项。如果作为比例内项的是两条相同的线段,即2、比例的性质

(1)基本性质:①a:b=c:dad=bc②a:b=b:cb2ac(2)更比性质(交换比例的内项或外项)abcd

acdbdcbdcabaabbc或a:b=b:c,那么线段b叫做线段a,c的比例中项。

(交换内项)(交换外项)

(同时交换内项和外项)

abcdbadc(3)反比性质(交换比的前项、后项):(4)合比性质:

abcdabbcdd

acembdfnab(5)等比性质:

abcdefmn(bdfn0)

3、黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中AC=

512AB0.618AB

考点二、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。

推论:

(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。

逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

(2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。考点三、相似三角形1、相似三角形的概念

对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示,读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下:

∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC

相似三角形的等价关系:

(1)反身性:对于任一△ABC,都有△ABC∽△ABC;(2)对称性:若△ABC∽△A’B’C’,则△A’B’C’∽△ABC

(3)传递性:若△ABC∽△A’B’C’,并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’,则△ABC∽△A’’B’’C’’。3、三角形相似的判定

(1)三角形相似的判定方法

①定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似

②平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等,两三角形相似。

④判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。

⑤判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例,两三角形相似

(2)直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

③垂直法:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质

(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长的比等于相似比;(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。5、相似多边形

(1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数)

(2)相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等,对应边成比例;②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比;③相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比;④相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形

如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比。

性质:每一组对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

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